DEMONSTRATIO CURTII FEDERICI GODEL
Explicatio

Demonstratio ista ratione procedit:

I - Definitio proprietatis positivae P(φ)

II – Definitio Dei G(x)

III - Definitio relationis essentiae φ Ess.x

IV - Definitio relationis necessitatis

V - Theorema 1: Si quis Deus tum divinam essentiam habet

VI - Definitio existentiae necessariae E(x)

VII - Theorema 2: Si Deus possibilis tum necessarie extat

VIII – Deus possibilis est

IX - Deus necessarie extat.

 I – Definitio proprietatis positivae P(φ)

(1) P(φ)        φ positivum est  (o  φ ∈ P)

"φ proprietas positiva est P".

Exempli causa: omnipotens esse , iustus esse, omnisciens esse, misericors esse.

(2) Axioma 1.      P(φ) . P(ψ) ⊃ P(φ . ψ)

Nota 1. Et omni numero addendorum.

"Si φ et ψ proprietates positivae sunt, tum etiam coniuntio eius φ et ψ proprietas positiva est".

Exempli gratia si esse omnipotens proprietas positiva est et esse misericors proprietas positiva est, tum esse omnipotens et misericors proprietas positiva est.

Coniunctio proprietatis numero cuicumque addendorum viget. Ergo proprietas positiva est, exempli gratia, etiam esse onnipotens, iustus et misericors.

(3) Axioma 2.      P(φ) ∨ P( ∼φ)

Nota 2. disiunctio exclusoria.

"Non possibile est φ et ∼φ utrasque proprietates positivas vel utrasque proprietates non positivas ".

Proprietas positiva est aut eius contrarium est. Si φ proprietas non positiva est tum ∼φ proprietas positiva est.

Si esse iustus proprietas positiva est tum esse non iustum nequit esse proprietas positiva.

II – Definitio Dei G(x)

 (4) Definitio 1.      G(x) ≡ (φ) [ P(φ) ⊃ φ(x) ]    (Deus)

"entitas x natura divina est si modo omnes proprietates positivas φ habet".

Deus per proprietatibus positivis circumscribitur. a Deo omnis negatio et omnis privatio excluditur. Proprietates Dei modo positivae sunt. Circumscribere potemus Deus dicentes esse illum entitatem bonam, iustam, omnipotentem, omniscientem, misericordem, etc.

III - Definitio relationis essentiae φ Ess.x

(5) Definitio 2.      φ Ess.x ≡ (ψ) [ ψ(x) ⊃ N(y) [ φ(y) ⊃ ψ(y) ]]    (Essentia elementi x)

       Nota 3. Duo essentiae quaecumque elementi x necessarie aequivalentes sunt.

"φ essentia elementi x (φ Ess.x) est si et modo si omni proprietati ψ elementi x, et necessarie y, quod si y habeat proprietatem φ, tum proprietatem ψ habet".

IV - Definitio relationis necessitatis

(6)  p ⊃ Nq = N(p ⊃ q)     (Necessitas)

"Si p necessarie implicat q tum necesse est p implicare q".

(7)   Axioma 3.      P(φ) ⊃ NP(φ); ∼P(φ) ⊃ N ∼P(φ)

"Si proprietas positiva est tum  necessarie positiva".  

"Si proprietas non positiva est, tum necessarie non positiva est".

V - Theorema 1: Si entitas Deus est tum essentiam divinam habet

(8) Theorema.      G(x) ⊃ G Ess. x.

"Si entitas x natura divina est, tum essentia elementi x natura divina G est".

 VI - Definitio existentiae necessariae E(x)

(9) Definitio 3.     E(x) ≡ (φ) [φ Ess. x ⊃ N (∃x) φ(x) ]     (Existentia necessaria) "x necessarie extat, si et modo si omni elemento essentiali φ elementi x, necessarie x extat qui φ habet".

Id est "x necessarie extat si et modo si sua essentia vel omne suum elementum essentiale necessarie extat ".

(10) Axioma 4.   P(E)

"existentia necessaria proprietas positiva est".

VII - Theorema 2: Si Deus possibilis tum necessarie extat

(11) Theorema 2.   G(x) ⊃ N(∃y) G(y)

"Si x Deus, tum necessarie extat".

Ergo (12)   (∃x) G(x) ⊃ N(∃y) G(y)

"Si Deus extat, tum necessarie extat".

Necessitatio passus (12):

(12-a)   N [(∃x) G(x) ⊃ N(∃y) G(y)]

"Necessarius est si Deus extat, tum necessarie extare".

Ex (12-a) et ex (K) obtinemus:

(13)   M(∃x) G(x) ⊃ MN(∃y) G(y)     (M = possibilitas)

"Si possibile est Deum extare, tum possibile est Deum necessarie extare".

Ex (13) et ex (S5) obtinemus:

(13-a)   MN(∃x) G(x) ⊃ N(∃y) G(y)

Ex (13) et (13-a) obtinemus:

(14)  M(∃x) G(x) ⊃ N(∃y) G(y)

"Si possibile est Deum extare, tum Deus necessarie extat".

VIII – Deus possibilis est

M(∃x) G(x) significat systema omnium proprietatum positivarum compatibilem esse.

Id verum propter:

(15) Axioma 5.   P(φ) . φ ⊃ Nψ : ⊃ P(ψ)

"Si proprietas positiva φ implicat necessarie aliam ψ, tum quoque ψ positiva est".

qui implicat

(16)  x = x  positivum est

(17) x ≠ x negativum est.

Sed si systema S proprietatibus positivis incompatibile sit, id significet proprietatem summam s (quae positiva est) x ≠ x sit.

Godel uterit x ≠ x ut proprietatem negativam indicet.

Propter axiomam 1 s positivum est atque stat x = x elemento s. Sed s esse nequit auto-contradictorium se ipsum. Si quid non auto-contradictorium est, tum possibile est. Ego S possibile est.

IX - Deus necessarie extat.

Ex (14) et ex (15) gratia modi ponentis:

Modus Ponens: si φ ⊃ ψ et φ, tum ψ.
(18) N(∃y) G(y)

"Deus necessarie extat".

Cum P(E(x)) ∈ G(x) existentia necessaria Dei demonstrata est.